MatrixTheory: Linear Space and Subspace

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矩阵理论第一课。

Linear Space：线性空间

  • 定义：设$V$为一个非空集合，$\mathbb{F}$为一个数域，$ V$中定义了一个封闭的加法运算“$+$”，对$\forall \alpha,\beta,\gamma\in V$,满足：
  1. 结合律：$(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$
  2. 交换律：$\alpha+\beta=\beta+\alpha$
  3. 存在零向量：$\alpha+0=\alpha$
  4. 存在负向量：$\alpha+(-\alpha)=0$

满足2、3、4的集合称群，满足1的群称交换群或阿贝尔群。

定义了另一个封闭的数乘运算“$\cdot$”，对$\forall \alpha,\beta\in V,k _1,k _2\in\mathbb{F}$,满足：

  1. 数乘的结合律：$k _1\cdot(k _2\cdot\alpha)=(k _1k _2)\cdot\alpha$
  2. 数乘关于向量加法的分配律：$k _1\cdot(\alpha+\beta)=k _1\cdot\alpha+k _1\cdot\beta$
  3. 数乘关于数的加法的分配律：$(k _1+k _2)\cdot\alpha=k _1\cdot\alpha+k _2\cdot\alpha$
  4. 数乘的初始条件：$1\cdot\alpha=\alpha$

则称$ V$为数域$\mathbb{F}$上的线性空间。

若某个运算的结果仍处于运算子所在的集合，则该运算是封闭的。对不同的线性空间，其内部的基本元素可以是任意的，如标量、向量、矩阵、函数等。但是对于一个确定的线性空间，其内部的元素类型必须是一致的。

加法和数乘只是一个符号或者说法，它们不一定是真的“$+$”和“$\cdot$”。

Proof of Linear Space：线性空间的证明（重要）

要想证明某个集合$V$是数域$\mathbb{F}$上的线性空间，只需要干两件事：

  1. 证明加法和数乘运算的封闭性；
  2. 证明上面的8项规则成立。

Properties of Linear Space：线性空间的性质

  1. 零向量是唯一的。
  2. 负向量是唯一的。
  3. $\forall k\in\mathbb{F},\alpha\in V$，$k\cdot\alpha=0$当且仅当$k=0$或$\alpha=0$。

以上三个性质都可用反证法证明。

Subspace：子空间

  • 定义：$ V$是数域$\mathbb{F}$上的线性空间，$U\subset V$，若$U$对$V$上定义的两个运算仍构成$\mathbb{F}$上的线性空间，则称$U$为$V$的子空间。

要判别一个集合$V$的子集$U$是否是原集合所构成线性空间的子空间，我们不再需要逐一地证明8项规则，只需要证明：

  1. 加法和数乘运算在集合$U$中封闭；
  2. 集合$U$不是空集。

只要证明了上面这两项成立，则8项规则自动成立。这是因为：$U\subset V$，所以只要$U$中有元素，那么它们就自动地满足结合、交换律，负向量也相应地存在；若$U$的加法、数乘运算还是封闭的，那么由向量与其负向量的加法又可得出零向量存在，由此，8项规则成立。

Intersection Space

  • 对线性空间$V$的两个子空间$U$和$W$，若它们的交集非空，则其交空间$U\cap W$也是$V$的子空间。

上述结论可以推广至$n$个子空间的交集。

Sum Space

  • 对线性空间$V$的两个子空间$U$和$W$，它们的和空间定义为：

$$
U+W=\{\alpha+\beta;\alpha\in U,\beta\in W\}
$$

和空间是$V$的子空间。

上述结论可以推广至$n$个子空间的和。

要注意把和空间和并空间$U\cup W$区分开来。并空间并不一定是$V$的子空间，只有两个空间之间存在包含关系时其并空间才是$V$的子空间。

Direct Sum

  • 定义：对线性空间$V$的两个子空间$U$和$W$，$\forall\alpha\in U+W$，即$\alpha=\alpha _1+\alpha _2$，其中$\alpha _1\in U$，$\alpha _2 \in W$，若$\alpha _1$和$\alpha _2$唯一，则称这种和为直和，记作$U\oplus W$。

直和也可以推广至$n$个子空间的和。我们有通用的方法来判定某个和是否是直和，但对于$n=2$的情况，还有专门的特殊方法。

Judgment of Direct Sum：$n\ge 2$

对线性空间$V$的$n$个子空间$U _1,...,U _n$，它们的和$(U _1+...+U _n)$是直和当且仅当其和空间的零向量只能表示为$0=0+...+0$。

  • 必要性：
    若$U _1+...+U _n$是直和$U _1\oplus ...\oplus U _n$，则其零向量的表示唯一。又$0=0+...+0$，所以必要性显然成立。
  • 充分性：
    假设$\alpha\in U _1+...+U _n$，且$\alpha$存在两个表示$\alpha=\alpha _1 + ... + \alpha _n$与$\alpha=\beta _1 + .. + \beta _n$。令第二个表示取逆向量并与第一个表示相加，则有：
    $$0=(\alpha _1-\beta _1)+...+(\alpha _n - \beta _n)$$
    因为$0$的表示唯一，所以：$\alpha _1 =\beta _1,...,\alpha _n =\beta _n$。证毕。

Judgment of Direct Sum：$n= 2$

  • 若$n=2$，则有特殊的判别法：

对线性空间$V$的$2$个子空间$U _1,U _2$，它们的和$(U _1 + U _2)$是直和当且仅当其它们的交空间只有零向量，即$U \cap W = \{0\}$。

  • 必要性：
    若$(U _1 + U _2)$是直和$U _1 \oplus U _2$，假设存在$\alpha \in U\cap W$，因为$U \cap W$是子空间，所以存在负向量使得：
    $$0 = \alpha + (-\alpha)$$
    而$0=0+0$，矛盾，所以必要性成立。
  • 充分性：
    若$U \cap W = \{0\}$，假设$\alpha \in U\cap W$存在两个不同的表示$\alpha = \alpha _1 + \beta _1$和$\alpha = \alpha _2 + \beta _2$，则：
    $$\alpha _1 - \alpha _2 = \beta _2 - \beta _1$$
    易知$\alpha _1 - \alpha _2\in U$，$\beta _2 - \beta _1\in W$，所以它们是$U$和$W$的公共部分，而$U \cap W=0$，所以只能$\alpha _1=\alpha _2$，$\beta _1 = \beta _2$。

对$n>2$，仅两两相交为零向量不行。