MatrixTheory: Linear Transformation Matrix

线性变换与矩阵

$T:U \to V$

零空间：$\text{null}\space T=\{\alpha \in U:T(\alpha)=0\}$

单射$\quad\text{iff}\quad\text{null}\space T = {0}$。

像空间：$\text{range}\space T=\{\beta \in V:\exists \alpha \in U,T(\alpha)=\beta\}$

满射$\quad\text{iff}\quad\text{range}\space T = V$。

维数公式：$\text{dim}(\text{range})+\text{dim}(\text{null})=\text{dim}(U)$

前提：有限维、线性变换。

线性变换矩阵

对$\text{dim}U=n,\text{dim}V=m$，$T(\alpha _1,..., \alpha _n)=(\beta _1, ...,\beta _m)C _{m\times n}$，其中$\alpha _1,...,\alpha _n$和$\beta _1,...,\beta _m$分别为$U$和$V$的基，称$C _{m\times n}$为线性变换$T$在给定基$\alpha _1,...,\alpha _n:\beta _1,...,\beta _m$下的矩阵。

线性变换由一组基的变换唯一确定。

自身到自身的线性变换称为“算子”：$T \in L(U)$。此时，线性变换前后的基可以取一样的。

矩阵就是线性变换，线性变换就是矩阵·。

线性变换矩阵求零、像空间

$T(\alpha) = T((\alpha _1,...,\alpha _n)X)= T(\alpha _1,...,\alpha _n)X=(\beta _1,...,\beta _m)AX$

• 求零空间
  $T(\alpha)=0\to \text{null}T\to N(A)$，此时得出的是能让$T(\alpha) = 0$的$X$的基，记为$X'$，再用$(\alpha _1,...,\alpha _n)X'$即可得到零空间的基。

• 求像空间
  此时要求的是像空间的基，而$AX$相当于对$A$进行列变换，因而$A$的秩就是像空间的维数，列变换得到列空间$C'$，计算$(\beta _1,...,\beta _m)C'$即可得到像空间的基。故$\text{range}T\to C(A)$

核心：什么样的基能够使得线性变化矩阵最简单。

线性变换与相似

同一个线性变换（算子）在不同基下的矩阵相似：

对$T: U\to U$，$T (\alpha _1,...,\alpha _n) = (\alpha _1,...,\alpha _n)A$；对$T: V \to V$，$T (\beta _1,...,\beta _m) = (\beta _1,...,\beta _m)B$；对两个基，有过渡矩阵$P$，使得$(\beta _1,...,\beta _m)=(\alpha _1,...,\alpha _n)P$，则：
$$
\begin{align*}
T (\beta _1,...,\beta _m)
&= (\beta _1,...,\beta _m)B \\
&= (\alpha _1,...,\alpha _n)PB \\
&= T((\alpha _1,...,\alpha _n)P) \\
&= (\alpha _1,...,\alpha _n)AP
\end{align*}
$$
故有：$PB=AP$，若$P$可逆，则易知$A$和$B$是相似的。

逆变换

若存在线性变换$T: U \to V$和$S: V\to U$，使得$ST = I$，$TS=I$，则称$S$为$T$的逆变换，其中$ST$和$TS$是之前定义的线性变换的乘法运算，$I$为恒等变换。逆变换若存在则是唯一的。

线性变换$T$可逆的充要条件：$T$单射且满射。

同构

若存在一个$T \in L(U,V)$，且$T$可逆，则称线性空间$U$和$V$是同构的。

两线性空间$U$、$V$同构的充要条件：$\text{dim}U=\text{dim}V$。

• 找同构映射：

1. 定义一个映射$T$；
2. 证明映射$T$是线性变换；
3. 证明映射$T$单射且满射。

• $V$为$\mathbb{F}$上的$n$维线性空间，则$V \simeq \mathbb{F} ^n$
• $L(U,V)\simeq \mathbb{F} ^{n \times n}$

线性变换就是矩阵。两个线性空间的线性变换空间的维数是者两个线性空间维数的乘积：

$$
\text{dim}L(U,V)=\text{dim}U\cdot \text{dim}V
$$

乘积空间

$V _1, V _2,..., V _k$为$\mathbb{F}$上的线性空间，则$V _1\times V _2\times ...\times V _k=\{(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _k):\alpha _i\in V _i \}$就称为$V _1, V _2,..., V _k$的乘积空间。乘积空间还是线性空间。

$V _1, V _2,..., V _k$可以是元素类型不同的空间。乘积空间的加法、数乘仍是各元素在原空间的加法和数乘。
乘积空间的维数为各成员空间的维数和。

商空间

$V$是$\mathbb{F}$上的线性空间，$U$是$V$的子空间，$\alpha \in V$，定义$\alpha + U = \{\alpha + \beta:\beta \in U\}$，则商空间为$V/U={\alpha + U:\alpha \in V}$。

• 商空间的加法：$(\alpha + U) + (\beta + U) = (\alpha + \beta) + U$
• 商空间的数乘：$k\cdot (\beta + U) = k\cdot \beta + U$

下列三个公式等价：

1. $\alpha - \beta \in U$
2. $\alpha + U = \beta + \ U$
3. $(\alpha + U) \cap (\beta + U) \ne \emptyset$

平行线

商空间也是线性空间，零向量是$\{\alpha + U,\alpha \in U\}$。

$\text{dim}(V/U)=n-k$，其中$\text{dim}V = N$，$\text{dim}U=k$

证明：定义$T: V \to V /U$，则对$\alpha \in V$，$T(\alpha) = \alpha + U$（证明线性变换略）。

易知这个线性变换是满射的，即$\text{dim}\text{range}T=\text{dim}(V/U)$。而零空间，$T(\alpha) = 0$，满足该条件的$\alpha$即$U$中的所有元素，故$\text{dim}\text{null}T = \text{dim}U$。又$\text{dim}V = \text{dim}\text{range}T + \text{dim}\text{null}T$，故$\text{dim}(V/U) = \text{dim}V - \text{dim}U$。